证明Y=e^x与Y=x+2在开区间(0,2)内至少有一个交点

令G(x)=e^x-(x+2)
则G(0)=-1<0,G(2)=e^2-4>0
根据介值定理：G(x)在（0，2）内至少有一个0点。
即：Y=e^x与Y=x+2在开区间(0,2)内至少有一个交点

作函数F(x)=e^x-(x+2)=e^x-x-2
∵lim(x→0)F(x)=e^0-0-2=-1<0,
lim(x→2)F(x)=e^2-2>0;
F(x)在开区间(0,2)上是连续的,
∴根据拉格朗日中值定理,在开区间(0,2)内一定存在一点ζ,使得F(ζ)=0.
即e^ζ-ζ-2=0;
e^ζ=ζ+2
∴即Y=e^x与Y=x+2在开区间(0,2)内至少有一个交点

高人

两个函数都是增函数
并且在X=0的时E^X<X+2 在X=2的时E^X>X+2故结论成立
证毕.....

这个就是要证明方程f(x)=e^x-x-2=0在开区间(0,2)上有解
当x=0时，f(0)=-1<0
当x=2时，f(2)=e^2-4>0
所以在开区间(0,2)上f(x)=0必有解，即Y=e^x与Y=x+2在开区间(0,2)内至少有一个交点